geogebra进阶12：动点问题的绘制之最好解决方案（1）

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一、问题提出

有关动点在多边形边界上移动的问题在初中数学中很常见，它涉及到各元素（点、线，以及由它们组成的基本图形）在位置关系、数量关系上的变与不变．由于这些变与不变的关系不仅有显性的，而且还有隐形的，所以成为初中数学教与学的一个难点．

文1提出，采用“几何画板”动态演示功能可以轻松突破这个难点，并且呈现了一个具体实例说明制作的思路．可惜，制作过程一共有14步，而且引入了复杂的符号函数，制作过程比较繁杂．最关键的是，文中的几何画板制作过程和人们自然的数学解题过程不相同，相当于要先解决数学问题，另外还得重新思考利用几何画板如何制作这个动态演示课件，费时费力，真“不轻松”！

近期热门的免费软件GeoGebra凭借其强大的几何、3D、动态演示和运算等功能，可以规范、便捷、直观地反应图形的变化性态．GeoGebra可以为师生做“数学实验”提供理想的环境，让师生通过“数学实验”去主动发现、主动探索，经历数学知识的建构过程，逐渐掌握发现规律的探究方法，使学生的探究学习能力、空间想象能力得到较好地培养．

笔者和肖建伟老师之前在动点绘制方面有过一定的研究和交流，自己也有心得曾经撰写文章投稿，但是杂志索要不小的版面费，笔者就没有发表这样的文章在这个刊物上。但是学习仍要继续进行。

二，问题：

先看看选自“左右修竹”老师的提供的例子：

例：点P在线段AB、半圆BC、线段CD组成的图形上运动，三段上的速度分别为1,2,3.描出P的轨迹。

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这个例子非常好！

因为我们之前的研究中，单位向量法在圆弧上是不能使用的。“左右修竹”老师进行了优化！我们来看看他所提供的两个绘制方法。然后笔者再提出自己的看法和第三种方法。

方法一：利用描点指令的路径值法

肖建伟老师有一个非常重要的《GeoGebra几何对象路径值(PathParameter)的理解与应用》，指出：

几何画板通常运用点值的方法去制作，GGB也有与“点值”对应的参数，用来确定点在几何对象上的位置，那就是“路径值（PathParameter）”，不过GeoGebra路径值的定义比几何画板的定义来得复杂些。

同时：

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所以要用描点指令，绘制动点在不同对象上的动点，必须要计算出相关动点的路径值！

肖老师也在这个文章中提出了利用折线计算动点的路径值的方法，大家可以参看，笔者不再叙述。

现在看看“左右修竹”老师对这个路径值的计算。

第一步：

首先手工计算P在轨迹上运动的时间t_总=t_1+t_2+t_3=f+\frac{c}{2}+\frac{g}{3},建立时间滑动条t，范围0

到t_总.，

然后将f,c,g做成一个列表，准备在上面描点。

即：

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这是一个挺有开创性的方法！把不同的对象放在一个列表里面，下面在列表中绘制动点，似乎能够省一点事情。

第二步：计算出各段的点的路径值，并且描点

笔者解读：

（1）“列表分三段，每一段路径值都是三分之一”，这是ggb为了简化计算而做出的规定，即不论这个折线的各个路径（包括线段，圆弧等）多长，若有3段，则每一段路径值都是三分之一，若有4段，每一段路径值都是4分之一，依次类推……

（2）“这就相等于小学应用题的行程问题，总路程就是总路径值1，描点的时候要写的路径值s在每一段都是关于时间t的一次函数。”

这个解释其实仅适用于折线？因为路径参数有两个函数：

第二个才是一次函数。

图

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当然这个例子的确可以这样解释。

（3）第一段，动点的速度是1，在线段AB上的动点的路径值都在0-1/3内。

即第一段的路径值一定是一个正比例函数：t / (3f)，

当t = f，刚好达到点B（路径值为1/3），

所以：t ≤ f, 描点(l1, t / (3f))

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（4）第二段：动点的路径值参数范围必须是（1/3,2/3）内，如何用滑动条t来表示这个路径值？

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以第二段为例：\\起始点B对应的路程是\frac{1}{3}，对应的时间点是t_1=\frac{f}{1},

第二段的实际速度是\frac{1}{3}÷t_2=\frac{2}{3c}。

根据\\点斜式写一次函数，s_2-\frac{1}{3}=\frac{2}{3c}(t-\frac{f}{1}).

所以第二段的路径值表达式是s_2=\frac{1}{3}+\frac{2}{3c}(t-\frac{f}{1})。

即：

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这里写得比较复杂！几个概念搞得人云里雾里！

但是看到表达式反而很简单！

第二段的动点的路径值参数范围必须是（1/3,2/3）内，所

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（5）第三段是线段g,速度是3，

动点的路径值必须是在（2/3,1）内，如何得到该段的路径参数呢？

如果不看“左右修竹”老师给出的答案，笔者直接口算，得到的动点在第三段的路径参数为：

、

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这样最后得到动点P的指令是：

如果(t ≤ f, 描点(l1, t / (3f)), 如果(t ≤ f + c / 2, 描点(l1, 1 / 3 + 2(t - f) / (3c)), 描点(l1, 2 / 3 + (t - f - c / 2) / g)))

……

未完待续……

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